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Les modèles ne révèlent pas et ne peuvent pas révéler toute la vérité

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La plupart des gens qui n'ont pas étudié les mathématiques croient que les mathématiques sont un édifice statique de la vérité. La perception commune est que les symboles mathématiques représentent des idées, et il existe des règles logiques qui peuvent être utilisées pour créer de nouvelles idées : appelées preuves de théorèmes. Les gens voient les théorèmes et les idées qu'ils représentent comme une image du monde prévisible et connue. Ce qui semble empêcher la plupart des gens de poursuivre cette connaissance plus approfondie, c'est que c'est vraiment difficile. Et vraiment ennuyeux, non ? 

Au cours des dernières années, cette vision statique des mathématiques s'est manifestée par une dépendance aux modèles. Il s'agissait de véritables modèles mathématiques, comme pour prédire le nombre d'infections et la façon dont le virus pourrait se propager, et aussi de modèles mentaux plus généraux, comme pour dépendre entièrement de la science pour dicter comment nous devrions tous nous comporter - Devrions-nous nous mettre en quarantaine ? Doit-on se masquer ? Devrions-nous rester à six pieds l'un de l'autre ? 

Ce point de vue soutient fermement l'idée que la vérité que nous recherchons est fondamentalement dictée par un monde naturel qui est rationnel, mécaniste et prévisible.

Bien sûr, en tant qu'individus, nous avons des limitations psychologiques qui nous empêchent de voir la vérité de manière complètement objective. Dans son livre stellaire 12 Règles pour la vie Jordan Peterson explique comment nos perceptions sont toujours focalisées et comment nous manquons la plupart de ce que le monde a à nous montrer. Il cite des études psychologiques pour prouver son point, et illustre comment cette observation est très ancienne, étant mentionnée comme la Maya dans les anciens textes hindous védiques. 

Nous avons donc une restriction psychologique qui nous empêche de tout voir dans le monde et ne permet qu'une vision étroite et ciblée qui est en partie motivée par nos désirs. Cela est aussi vrai pour les scientifiques et les décideurs politiques que pour les personnes dans d'autres domaines. 

La promesse de la science, bien sûr, est de contourner ce problème. Il existe cette méthode, une façon de définir soigneusement les expériences, afin que cette vérité objective puisse être partagée avec les autres et que nous puissions parvenir à une compréhension commune du monde qui nous entoure. Le summum de la science est cette croyance dans le rationnel, que les modèles forment toute la base de la réalité objective. Mais même la science a ses limites dans la vérité qu'elle peut fournir. 

En creusant profondément dans la science, vous arrivez aux mathématiques. Cela forme sûrement la base de la pensée logique, et les vérités mathématiques sont complètes. 

Ce que la plupart des gens ne savent pas, à moins que vous n'étudiiez les mathématiques à un niveau supérieur, c'est que le fondement même des mathématiques n'est pas aussi stable qu'on pourrait le penser, et que l'idée de ce qui peut ou ne peut pas être prouvé n'est pas t si coupé et sec. Les révélations mathématiques d'il y a près d'un siècle ont bouleversé la vision mécaniste du monde.

Avant le tournant du 20e siècle, bon nombre des mathématiciens les plus brillants se concentraient sur la compréhension de ses fondements. Pour un mathématicien, les fondations sont ces éléments de compréhension très basiques qui servent de blocs de construction pour tout le reste. Des fondations, tout le reste suit.

Bertrand Russell, un logicien et philosophe de cette période, a travaillé aux côtés du mathématicien-philosophe Alfred North Whitehead pour construire les mathématiques à partir des premiers principes. Ensemble, ils ont produit un travail gigantesque décrivant comment toutes les mathématiques pouvaient être générées à partir de quelques idées et règles de base. Le tome en trois volumes, publié entre 1910 et 1913, s'appelait Principia Mathematica.

Pour vous donner une idée de l'abstraction de cette poursuite, elle commence par partir d'une vérité fondamentale de notre perception humaine. Il indique que nous savons essentiellement comment séparer un objet d'un autre, puis nous pouvons commencer à regrouper ces objets.

Alors ça commence : le premier ensemble est celui du néant. (Vraiment !) Mais le idée de rien n'est quelque chose. Si nous identifions l'ensemble contenant une chose, ce néant, nous avons maintenant un ensemble qui est plus grand que rien, et c'est ainsi que nous pouvons définir le nombre 1. Il en va ainsi, avec des règles définies pour passer d'une chose mathématique à un autre, les règles de la logique, construisant tout l'univers connu des mathématiques. 

À l'époque, la communauté mathématique considérait cela comme une avancée fantastique. Les débats ont fait rage sur ce que cela signifiait pour la compréhension humaine. Par exemple, si toute la vérité mathématique pouvait être générée à l'aide de principes de base et de règles logiques, pourquoi avons-nous besoin de mathématiciens ? Un ordinateur (une fois développé) pourrait avancer aveuglément en créant de nouveaux théorèmes à partir de rien. Si vous croyez que les mathématiques sont le langage de la nature, cela fournirait un moyen mécaniste de découvrir tous les mystères de la nature. 

Les rêves de la base fondamentale des mathématiques ont vécu pendant une décennie et demie jusqu'à ce qu'ils soient anéantis à jamais par un jeune mathématicien tchèque nommé Kurt Godel. En 1930, Gödel a produit une preuve montrant explicitement que Principia Mathematica était incomplet. L'essentiel de ce qu'il a dit, c'est qu'à l'intérieur tous système formel :

Il y a des choses qui sont vraies qui ne peuvent pas être prouvées.

Étonnamment, Gödel a prouvé cette affirmation en construction. Cela signifie qu'il a en fait montré que l'utilisation des règles de Principia Mathematica il pouvait créer une telle déclaration, une qui était vraie, mais qui ne pouvait pas être prouvée par les règles. Comment a-t-il construit une chose pareille ? 

Il a attaqué l'objectif primordial de Principia avec un nouvelle méthode ingénieuse en logique. A chaque vérité, il associe un nombre, et à chaque règle logique, il associe une manière de passer des nombres de vérité à d'autres nombres de vérité. Chaque étape était également associée à un numéro. Puis, utilisant les nombres contre eux-mêmes, il créa un nouveau nombre, qui devait être un nombre de vérité, mais auquel on ne pouvait pas accéder avec les autres nombres. 

C'est ce mécanisme récursif, où les nombres étaient à la fois des énoncés et des étapes d'instruction, qui a inspiré cette révélation. Il a donc trouvé qu'il y avait un nombre correspondant à une affirmation qui était vraie dans le cadre de Principia, mais qui n'a pas pu être prouvé avec les règles pour générer des nombres de vérité. 

D'un seul coup, Gödel a détruit les années de travail de Russell et Whitehead, et des dizaines d'autres logiciens à la recherche de ce Nirvana de vérité fondamentale qui construirait toutes les mathématiques et, par extension, notre compréhension de l'univers physique. 

Essentiellement, il a utilisé le pouvoir de la logique et des nombres contre lui-même. 

C'est important.

Peu importe ce que vous avez fait en tant que mathématicien, peu importe le modèle que vous avez créé, peu importe le soin avec lequel vous avez défini les hypothèses et les règles fondamentales, vous ne pourriez jamais parvenir à une compréhension complète du sujet que vous tentiez d'étudier. 

Le travail de Gödel n'existe que dans le domaine des mathématiques. Cela ne prouve rien dans le domaine scientifique ou humain, sauf là où ceux-ci se croisent avec les mathématiques. Mais cela peut éclairer de vraies décisions dans nos vies. 

Nous avons constamment des idées qui nous sont présentées par les experts qui nous montrent une façon de vivre et de croire. Ce sont tous des modèles, vraisemblablement basés sur la rationalité et la logique. Ces idées sont présentées comme une fin. Ils sont présentés comme s'il n'y avait pas d'autre vérité. Gödel nous a montré que cette vision mécaniste de la nature ne résiste pas à l'examen le plus élémentaire de la logique. 

Il y a des vérités humaines.

Il y a des vérités spirituelles.

Il y a des vérités plus profondes dans le cosmos que nous ne sommes pas autorisés à comprendre.

Chaque fois qu'un politicien, ou une autorité, ou même un ami vous dit que tout est connu, qu'il existe un modèle qui définit la vérité, et qu'en suivant le modèle, l'avenir sera connu, soyez sceptique. Il y a des mystères au-delà de la compréhension humaine qui échappent même au raisonnement logique le plus profond de l'homme. 

Et cela a été prouvé, par un homme.



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Auteur

  • Alan Lash

    Alan Lash est un développeur de logiciels originaire du nord de la Californie, titulaire d'une maîtrise en physique et d'un doctorat en mathématiques.

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